强化学习导论学习笔记——（三）

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3. Finite Markov DecisionProcesses

Agent和Environment的交互

  • 学习者和决策者称为agent。
  • agent交互的对象，外部环境，称为Environment。
  • 在时刻t，agent的所处的环境用状态：$S_t \in S$表示，$S$是可能的状态集。假设agent采用了动作$A_t\in A(S_t)$，$A(S_t)$代表在状态$S_t$下可能的动作集。
  • 到了下一个时刻t+1，agent收到了一个奖励：$R_{t+1} \in R$，并且发现自己处在一个新的state中：$S_{t+1}$。

agent_env

什么是有限

有限MDP中的有限意味着：状态空间S、动作空间A和奖励空间R都是离散且有限的。

目标和奖励的区别

  • 每个时间节点上，agent都会收到一个奖励的数值：$R_t$。
  • 但是，agent的目标应该是：所有时间结点上的奖励的和的最大化。
  • 即：$G_t = R_{t+1} + R_{t+2} + … + R_T$

什么是Episode

一系列的agent和environment交互序列。每个episode之间相互不影响，且都是有一个相同的终止状态（terminate state）。

Continuing Tasks

不同于Episode类的任务，这类任务没有终止状态，也就是说$T = \infty$。因此，如果考虑这类任务，那么$G_t$将是无穷大，于是引入discounting。

Episode和Continuing Tasks的统一规范

在Episode的尾部加入吸收状态（absorbing state），在此状态下，奖励永远是0，且下一个状态永远是当前状态。

这样收益可以统一使用下面的Expected Discounted Return表示。

Expected Discounted Return

  • 回报：$G_t = R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + … = \sum_{k=0}^{\infty} \gamma ^k R_{t+k+1}$
  • $\gamma$是参数，且$0\leq \gamma \leq 1$，被称为discount rate。
  • 含义：一个奖励，如果是在k个时间节点以后收到，那么对于当前来说，它的价值是即时奖励的$\gamma^{k-1}$倍。
  • 从$G_t$的定义，很容易获得递推式：$G_t = R_{t+1} + \gamma G_{t+1}$

马尔科夫性质（Markov property）

  • 核心思想：当前state继承了所有的环境历史信息。
  • $Pr{S_{t+1}=s’, R_{t+1}=r|S_0,A_0,R_1,…,S_{t-1},A_{t_1},R_t,S_t,A_t} = Pr{S_{t+1}=s’, R_{t+1}=r|S_t,A_t}$
  • 即便state是非马尔科夫的，我们也希望近似到马尔科夫。

Markov Dicision Processes（MDP）

  • 满足马尔科夫性质的强化学习任务称为MDP。
  • 如果state和action空间有限，则称为有限MDP（涵盖了现代强化学习90%的问题）。
  • 用$p(s’,r|s,a)$表示$Pr{S_{t+1}={s}’, R_{t+1}=r|S_t,A_t}$，这个条件概率是描绘了整个MDP的动态（Dynamics）。
  • state-action期望奖励：$r(s,a) = \mathbb{E}[R_{t+1}|S_t=s,A_t=a]=\sum_{r\in R}r\sum_{s’\in S}p(s’, r|s,a)$
  • 状态转移概率：$p(s’|s,a) = Pr{S_{t+1}=s’|S_t=s, A_t=a}=\sum_{r\in R}p(s’, r| s, a)$
  • state-action-nextstate期望奖励：$r(s, a, s’) = \mathbb{E}[R_{t+1}|S_t=s,A_t=a, S_{t+1}=s’] = \sum_{r\in R}r\frac{p(s’,r|s,a)}{p(s’|s,a)}$

价值函数

关于策略$\pi$的state-value函数：

$$v_{\pi}(s) = {\mathbb{E}}_{\pi}[G_t|S_t=s] = \mathbb{E}_{\pi}[\sum_k\gamma^kR_{t+k+1}|S_t=s]$$

即，在使用策略$\pi$的前提下，衡量处于某个state有多好。

关于策略$\pi$的action-value函数：

$$q_{\pi}(a,s) = \mathbb{E}_{\pi}[G_t|S_t=s,A_t=a] = \mathbb{E}_{\pi}[\sum_{k=0}^{\infty}\gamma^kR_{t+k+1}\bigm|S_t=s,A_t=a]$$

即，在使用策略$\pi$的前提下，衡量处于某个state下，执行某个action有多好。

Bellman Euqation

Bellman Expectation Euqation for $v_{\pi}$：

$$v_{\pi}(s) = \sum_a\pi(a|s)\sum_{s’,r}p(s’,r|s,a)[r+\gamma v_{\pi}(s’)];;\forall s \in S$$

理解：

  • 1.方括号中是根据后继状态的价值重新估计的价值函数，再在动作空间、后继状态空间和动作空间用相应的概率做加权求和。
  • 2.表达的是某个状态的价值和其后继状态的价值之间的关系。

backup：是强化学习方法的核心，以时序意义上的回退，用下一个时刻的值去评估当前时刻的值。

Bellman Expectation Euqation for $q_{\pi}$

$$q_{\pi}(s,a) = \sum_{s’}p(s’,r|s,a)[r+\gamma \sum_{a’}q(s’,a’)]$$

backup

推导：

$$v_\pi(s) = \mathbb{E}_{\pi}[G_t \mid S_t = s]$$

$$= \mathbb{E}_{\pi} [R_{t+1} + \gamma G_{t+1} \mid S_t = s]$$

$$= \sum_a \pi(a \mid s) \sum_{s’, r} p(s’, r \mid s, a) [r + \gamma v_\pi(s’)].$$

$$q_{\pi}(s,a) = \mathbb{E}_{\pi}[G_t \mid S_t = s, A_t = a]$$

$$= \mathbb{E}_\pi [R_{t+1} + \gamma G_{t+1} \mid S_t = s, A_t = a]$$

$$= \sum_{s’,r}p(s’,r|s,a)[r+\gamma \sum_{a’}q(s’,a’)]$$

参考资料：https://joshgreaves.com/reinforcement-learning/understanding-rl-the-bellman-equations/

最优化价值函数

$$v_*(s) = \underset{\pi}{max}v_{\pi}(s)$$

$$q_*(s,a) = \underset{\pi}{max}q_{\pi}(s,a)$$

Bellman Optimality Euqation for $v_*(s)$：

$$\underset{a\in A(s)}{max}\sum_{s’,r}p(s’,r|s,a)[r+\gamma v_*(s’)]$$

Bellman Optimality Euqation for $q_*(s,a)$：

$$\sum_{s’,r}p(s’,r|s,a)[r+\gamma \underset{a’}{max}q_*(s’, a’)]$$

backup_opt

代码分析

完整源码

问题描述：

  • 动作空间：上下左右。
  • 奖励：到A点会有10的奖励，且会被带到A’，到B有10的奖励，且会被带到B’。如果动作要把agent带离格子世界，则agent不懂，且奖励是-1。其他动作奖励是0。

3_grid_world

假设初始策略是等概率地选择上下左右这四个动作：

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# left, up, right, down
ACTIONS = [np.array([0, -1]),
           np.array([-1, 0]),
           np.array([0, 1]),
           np.array([1, 0])]
ACTION_PROB = 0.25

下面代码描述了给定当前状态和动作，下一个状态和奖励是什么。

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def step(state, action):
    if state == A_POS:
        return A_PRIME_POS, 10
    if state == B_POS:
        return B_PRIME_POS, 5

    state = np.array(state)
    next_state = (state + action).tolist()
    x, y = next_state
    if x < 0 or x >= WORLD_SIZE or y < 0 or y >= WORLD_SIZE:
        reward = -1.0
        next_state = state
    else:
        reward = 0
    return next_state, reward

下面代码使用bellman equation做backup，去迭代价值函数：

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for i in range(0, WORLD_SIZE):
    for j in range(0, WORLD_SIZE):
        for action in ACTIONS:
            (next_i, next_j), reward = step([i, j], action)
            # bellman equation for value function
            new_value[i, j] += ACTION_PROB * (reward + DISCOUNT * value[next_i, next_j])